جبر بولی از جبر گرفته شده است که یکی از شاخه های اصلی ریاضیات است. شاخه های زیادی از ریاضیات مانند حساب دیفرانسیل و انتگرال، حساب، جبر، هندسه، آنالیز عددی و غیره وجود دارد که بیشتر در دسته های مختلف توسعه یافته اند. این شاخه ها تقریباً در هر زمینه ای مورد استفاده قرار می گیرند و روش های مختلفی برای حل مشکلات مربوطه دارند.
برای بحث در مورد جبر بولی، به سادگی از شاخه اصلی آن، یعنی. جبر پنج نوع مختلف جبر وجود دارد که به شرح زیر است:
- جبر انتزاعی
این نوع جبر برای حل مفاهیم مجموعه ها، عملیات دوتایی، تداعی، عناصر هویت و معکوس ها استفاده می شود.
- جبر پیشرفته
این شاخه به شما کمک می کند تا مسائل مربوط به معادلات با نامساوی، مقاطع مخروطی، معادله چند جمله ای، دنباله ها و سری ها، ماتریس ها، توابع درجه دوم با نامساوی، عبارات گویا و غیره را حل کنید.
- جبر ابتدایی
مفاهیمی از جمله ارزیابی عبارات و معادلات، متغیرها، ویژگی‌های نابرابری‌ها و برابری‌ها و موارد دیگر را پوشش می‌دهد.
- جبر خطی
این بخش موضوعاتی از جمله فضاهای برداری، روابط و حساب، معادلات و ماتریس های خطی و تجزیه ماتریس را پوشش می دهد.
- جبر ارتباطی
این شاخه به مطالعه نظریه اعداد جبری، هندسه جبری و … می پردازد.
جبر بولی را تعریف کنید
جبر بولی با عملیات مقادیر منطقی سروکار دارد و مقادیر متغیر آن فقط مقادیر صدق هستند، یعنی. درست و نادرست. معمولاً با 1 و 0 نشان داده می شود. جبر بولی جبر بولی یا جبر دوتایی نیز نامیده می شود و در شاخه اصلی جبر انتزاعی وجود دارد.
عملیات انجام شده بر روی جبر بولی
عملیات اساسی که در جبر بولی انجام می شود به شرح زیر است:
- بدون عملیات
- یا جراحی
- و جراحی
نه عملیات نیز نفی نامیده می شود و به عنوان نمایش داده می شود ¬ یا !
عملیات OR به عنوان جدایی شناخته می شود و به صورت نمایش داده می شود ∨ یا II
جایی که
عملیات AND نیز به عنوان یک رابطه تعریف شده و به صورت نمایش داده می شود ∧ یا &&
نمایش گرافیکی عملیات جبری بولی
عملیات جبری بولی را می توان با یک نمودار ون با سایه انداختن یک ناحیه همپوشانی نشان داد.
نمودار ون نشان دهنده پیوند، تفکیک و نفی به شرح زیر است:
عبارات بولی:
عبارات بولی عبارات منطقی هستند که با عملگرهای منطقی نوشته می شوند.
مثلا:
X یا Y
الف و ب
(در اینجا OR & AND عملگرهای منطقی هستند)
جدول درستی:
جدول حقیقت تمام مقادیر منطقی ممکن متغیرهای منطقی و ترکیبات آنها را ارائه می دهد.
| آ | ب | آ ∨ ب | آ ∧ ب |
| درست (1) | درست (1) | درست (1) | درست (1) |
| درست (1) | نادرست (0) | درست (1) | نادرست (0) |
| نادرست (0) | درست (1) | درست (1) | نادرست (0) |
| نادرست (0) | نادرست (0) | نادرست (0) | نادرست (0) |
| آ | ¬آ |
| درست (1) | نادرست (0) |
| نادرست (0) | درست (1) |
قوانین جبر بولی
شش قانون جبر بولی وجود دارد که برای حل عبارات جبر بولی استفاده می شود:
- و قانون
ایکس . 0 = 0
ایکس . 1 = x
ایکس . x = x
ایکس . x = 0
- یا قانون
x + 0 = x
x + 1 = 1
x + x = x
x + x = 1
- قانون وارونگی
x + x = 1
(به این معنی که نتیجه وارونگی مضاعف یک متغیر، متغیر اصلی است.)
- قانون انجمنی
(x .y) . z = x. (y . z)
(x + y) + z = x + (y + z)
- قانون توزیعی
ایکس . (y . z) = (x . y) + (x . z)
x + (y . z) = (x + y) . (x . z)
- قانون تعویض
ایکس . y = y ساعت
x + y = y + x
حل عبارات جبری بولی با قانون دی مورگان:
پرکاربردترین قضایا برای حل جبر بولی قوانین دی مورگان هستند. آنها دو نوع هستند: قانون اول دی مورگان و قانون دوم دی مورگان.
قانون اول دی مورگان: (ایکس . y)’ = x’ + y’
بیان می کند که مجموع متمم متغیر تکی آنها برابر با متمم حاصلضرب متغیر است.
جدول حقیقت برای تأیید قانون اول دی مورگان:
| ساعت | آقای | ایکس’ | آره | (x . y)’ | x’ + y’ |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
قانون دوم دی مورگان: (x + y)’ = x’. آره
بیان می کند که متمم مجموع متغیر برابر است با حاصلضرب متمم فردی آنها یا بالعکس.
جدول حقیقت برای تأیید قانون دوم دی مورگان:
| ساعت | آقای | ایکس’ | آره | (x . y)’ | x’ + y’ |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
عبارات جبری بولی را می توان به اشکال مختلف نوشت و نتیجه آنها را می توان با استفاده از جداول صدق تولید کرد. ماشین حساب بولی برای جبر.
مثال 1: یک جدول حقیقت برای x (y + z)
پاسخ:
یک عبارت داده شده است x (y + z)
| ساعت | آقای | اچ | y + z | x (y + z) |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
مثال 2: یک جدول حقیقت برای (x + y) (x + z) رسم کنید
پاسخ:
داده شده (x + y) (x + z)
| ساعت | آقای | z | x + y | x + z | (x + y) (x + z) |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
می توانید این جدول را با استفاده از آنلاین بررسی کنید ماشین حساب بیان بولی.
من توصیه می کنم0 توصیه هاارسال شده در وبلاگ ها، ریاضیات
